Написать программу решения квадратного уравнения. Где коэффициенты. Составить квадратное уравнение. Как бы не так. «Заказчик», пятиклассник Петя, недоволен: на его ввод программа.

1. Неполное Квадратное Уравнение
2. Как Разложить Квадратное Уравнение

Дифференциальные уравнения: Числовые ряды: Функциональные ряды: Кратные интегралы: Элементы векторного анализа: Комплексный анализ: Теория вероятностей: Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, мне об этом Поставьте нашу кнопку: Когда нет времени: Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену Выражения, уравнения и системы уравнений с комплексными числами Сегодня на занятии мы отработаем типовые действия с комплексными числами, а также освоим технику решения выражений, уравнений и систем уравнений, которые эти числа содержат. Данный практикум является продолжением урока, и поэтому если вы неважно ориентируетесь в теме, то, пожалуйста, пройдите по указанной выше ссылке. Ну а более подготовленным читателям предлагаю сразу же разогреться: Пример 1 Упростить выражение,. Представить результат в тригонометрической форме и изобразить его на комплексной плоскости. Решение: итак, требуется подставить в «страшную» дробь, провести упрощения, и перевести полученное. Как лучше оформить решение? С «навороченным» алгебраическим выражением выгоднее разбираться поэтапно.

Во-первых, меньше рассеивается внимание, и, во-вторых, если таки задание не зачтут, то будет намного проще отыскать ошибку. 1) Сначала упростим числитель.

Подставим в него значение, раскроем скобки и поправим причёску: Да, такой вот Квазимодо от комплексных чисел получился Напоминаю, что в ходе преобразований используются совершенно бесхитростные вещи – правило умножения многочленов и уже ставшее банальным равенство. Главное, быть внимательным и не запутаться в знаках. 2) Теперь на очереди знаменатель. Если, то: Заметьте, в какой непривычной интерпретации использована. Как вариант, здесь можно выполнить перестановку под формулу. Результаты, естественно, совпадут.

3) И, наконец, всё выражение. Если, то: Чтобы избавиться от дроби, умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение.

При этом в целях применения следует предварительно (и уже обязательно!) поставить отрицательную действительную часть на 2-е место: А сейчас ключевое правило: НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ НЕ ТОРОПИМСЯ! Лучше перестраховаться и прописать лишний шаг. В выражениях, уравнениях и системах с комплексными числами самонадеянные устные вычисления чреваты, как никогда! На завершающем шаге произошло хорошее сокращение и это просто отличный признак. Примечание: строго говоря, здесь произошло деление комплексного числа на комплексное число 50 (вспоминаем, что ).

Об этом нюансе я умалчивал до сих пор и о нём мы ещё поговорим чуть позже. Обозначим наше достижение буквой Представим полученный результат в тригонометрической форме. Вообще говоря, здесь можно обойтись без чертежа, но коль скоро, требуется – несколько рациональнее выполнить его прямо сейчас: Вычислим модуль комплексного числа: Если выполнять чертёж в масштабе 1 ед. = 1 см (2 тетрадные клетки), то полученное значение легко проверить с помощью обычной линейки.

Найдём аргумент. Так как число расположено во 2-й координатной четверти, то: Угол элементарно проверяется транспортиром. Вот в чём состоит несомненный плюс чертежа. Таким образом: – искомое число в тригонометрической форме. Выполним проверку:, в чём и требовалось убедиться. Незнакомые значения синуса и косинуса удобно находить.

Ответ: Аналогичный пример для самостоятельного решения: Пример 2 Упростить выражение, где. Изобразить полученное число на комплексной плоскости и записать его в показательной форме. Постарайтесь не пропускать учебные примеры. Кажутся-то они, может быть, и простыми, но без тренировки «сесть в лужу» не просто легко, а очень легко. Поэтому «набиваем руку». Краткое решение и ответ в конце урока. Нередко задача допускает не единственный путь решения: Пример 3 Вычислить, если, Решение: прежде всего, обратим внимание на оригинальное условие – одно число представлено в алгебраической, а другое – в тригонометрической форме, да ещё и с градусами.

Давайте сразу перепишем его в более привычном виде:. В какой форме проводить вычисления? Выражение, очевидно, предполагает первоочередное умножение и дальнейшее возведение в 10-ю степень по, которая сформулирована для тригонометрической формы комплексного числа.

Таким образом, представляется более логичным преобразовать первое число. Найдём его модуль и аргумент: Используем правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме: если, то В нашем случае: Далее применяем формулу Муавра, которая является следствием указанного выше правила: Делая дробь правильной, приходим к выводу, что можно «скрутить» 4 оборота ( рад.): Готово.

Второй способ решения состоит в том, чтобы перевести 2-е число в алгебраическую форму, выполнить умножение в алгебраической форме, перевести результат в тригонометрическую форму и воспользоваться формулой Муавра. Как видите, одно «лишнее» действие. Желающие могут довести решение до конца и убедиться, что результаты совпадают.

В условии ничего не сказано о форме итогового комплексного числа, поэтому: Ответ: Но «для красоты» либо по требованию результат нетрудно представить и в алгебраической форме: Самостоятельно: Пример 4 Упростить выражение Здесь нужно вспомнить, хотя одного полезного правила в методичке нет, вот оно:. И ещё одно важное замечание: пример можно решить в двух стилях. Первый вариант – работать с двумя числами и мириться с дробями.

Второй вариант – представить каждое число в виде частного двух чисел:. С формальной точки зрения без разницы, как решать, но содержательное отличие есть! Пожалуйста, хорошо осмыслите: – это комплексное число; – это частное двух комплексных чисел ( и ), однако в зависимости от контекста можно сказать и так: число, представленное в виде частного двух комплексных чисел. Краткое решение и ответ в конце урока.

Выражения – хорошо, а уравнения – лучше: Уравнения с комплексными коэффициентами Чем они отличаются? Коэффициентами =) В свете вышеприведённого замечания начнём с этого примера: Пример 5 Решить уравнение И незамедлительная преамбула по «горячим следам»: изначально правая часть уравнения позиционируется, как частное двух комплексных чисел ( и 13), и поэтому будет нехорошим тоном переписать условие с числом (хотя это и не повлечёт ошибки). Более явственно данное различие, кстати, просматривается в дроби – если, условно говоря, то это значение в первую очередь понимается как «полноценный» комплексный корень уравнения, а не как делитель числа, и тем более – не как часть числа! Решение, в принципе, тоже можно оформить пошагово, но в данном случае овчинка выделки не стОит. Первоначальная задача состоит в том, чтобы упростить всё, что не содержит неизвестной «зет», в результате чего уравнение сведётся к виду: Уверенно упрощаем среднюю дробь: Результат переносим в правую часть и находим разность: Примечание: и вновь обращаю ваше внимание на содержательный момент – здесь мы не вычли из числа число, а подвели дроби к общему знаменателю!

Следует отметить, что уже в ХОДЕ решения не возбраняется работать и с числами:, правда, в рассматриваемом примере такой стиль скорее вреден, чем полезен =) По правилу пропорции выражаем «зет»: Теперь можно снова разделить и умножить на сопряжённое выражение, но подозрительно похожие числа числителя и знаменателя подсказывают следующий ход: Ответ: В целях проверки подставим полученное значение в левую часть исходного уравнения и проведём упрощения: – получена правая часть исходного уравнения, таким образом, корень найден верно. Сейчас-сейчас подберу для вас что-нибудь поинтереснее держите: Пример 6 Решить уравнение Данное уравнение сводится к виду, а значит, является линейным. Намёк, думаю, понятен – дерзайте! Конечно же как можно без него прожить: Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами На уроке мы узнали, что квадратное уравнение с действительными коэффициентами может иметь сопряжённые комплексные корни, после чего возникает закономерный вопрос: а почему, собственно, сами коэффициенты не могут быть комплексными? Сформулирую общий случай: Квадратное уравнение с произвольными комплексными коэффициентами (1 или 2 из которых либо все три могут быть, в частности, и действительными) имеет два и только два комплексных корня (возможно один из которых либо оба действительны).

При этом корни (как действительные, так и с ненулевой мнимой частью) могут совпадать (быть кратными). Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами решается по такой же схеме, что и, с некоторыми отличиями в технике вычислений: Пример 7 Найти корни квадратного уравнения Решение: на первом месте расположена мнимая единица, и, в принципе, от неё можно избавиться (умножая обе части на ), однако, в этом нет особой надобности.

Для удобства выпишем коэффициенты: Не теряем «минус» у свободного члена! Может быть не всем понятно – перепишу уравнение в стандартном виде: Вычислим дискриминант: А вот и главное препятствие: Применение общей формулы извлечения корня (см.

Последний параграф статьи ) осложняется серьёзными затруднениями, связанными с аргументом подкоренного комплексного числа (убедитесь сами). Но существует и другой, «алгебраический» путь! Корень будем искать в виде: Возведём обе части в квадрат: Два комплексных числа равны, если равны их действительные и их мнимые части. Таким образом, получаем следующую систему: Систему проще решить подбором (более основательный путь – выразить из 2-го уравнения – подставить в 1-е, получить и решить биквадратное уравнение). Предполагая, что автор задачи не изверг, выдвигаем гипотезу, что и – целые числа. Из 1-го уравнения следуют, что «икс» больше, чем «игрек». Кроме того, положительное произведение сообщает нам, что неизвестные одного знака.

Исходя из вышесказанного, и ориентируясь на 2-е уравнение, запишем все подходящие ему пары: Очевидно, что 1-му уравнению системы удовлетворяют две последние пары, таким образом: Не помешает промежуточная проверка: что и требовалось проверить. В качестве «рабочего» корня можно выбрать любое значение.

Понятно, что лучше взять версию без «минусов»: Находим корни, не забывая, кстати, что: Ответ: Проверим, удовлетворяют ли найденные корни уравнению: 1) Подставим: верное равенство. 2) Подставим: верное равенство. Таким образом, решение найдено правильно. По мотивам только что разобранной задачи: Пример 8 Найти корни уравнения Следует отметить, что квадратный корень из чисто комплексного числа прекрасно извлекается и с помощью общей формулы, где, поэтому в образце приведены оба способа. Второе полезное замечание касается того, что предварительное извлечение корня из константы ничуть не упрощает решение. А теперь можно расслабиться – в этом примере вы отделаетесь лёгким испугом:) Пример 9 Решить уравнение и выполнить проверку Решения и ответы в конце урока. Заключительный параграф статьи посвящён системе уравнений с комплексными числами Расслабились и не напрягаемся =) Рассмотрим простейший случай – систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: Пример 10 Решить систему уравнений.

Ответ представить в алгебраической и показательной формах, изобразить корни на чертеже. Решение: уже само условие подсказывает, что система имеет единственное решение, то есть, нам нужно найти два числа, которые удовлетворяют каждому уравнению системы. Систему реально решить «детским» способом ( ), однако гораздо удобнее использовать. Вычислим главный определитель системы:, значит, система имеет единственное решение. Повторюсь, что лучше не торопиться и прописывать шаги максимально подробно: Домножаем числитель и знаменатель на мнимую единицу и получаем 1-й корень: Аналогично: Перед тем, как продолжать дальше, целесообразно проверить решение. Подставим найденные значения в левую часть каждого уравнения системы: Получены соответствующие правые части, ч.т.п.

Выполним чертёж: Представим корни в показательной форме. Для этого нужно найти их модули и аргументы: 1) – арктангенс «двойки» вычисляется «плохо», поэтому так и оставляем: 2) Ответ: Задание повеселее: Пример 11 Решить систему уравнений Найти произведение корней и представить его в тригонометрической форме. Краткое решение совсем близко. И в заключение ответим на экзистенциальный вопрос: для чего нужны комплексные числа?

Неполное Квадратное Уравнение

Комплексные числа нужны для расширения сознания выполнения заданий других разделов высшей математики, кроме того, они используются во вполне материальных инженерно-технических расчетах на практике. На этом курс Опытного пользователя комплексных чисел завершён – сертификат вам на стену и новых достижений!

Решения и ответы. Пример 2: Решение: если, то: Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю выражение: Изобразим полученное число на чертеже: Представим ответ в показательной форме.

Найдем модуль и аргумент данного числа: Поскольку число расположено в 3-й четверти, то: Таким образом: Ответ: Пример 4: Решение: Пример 6: Решение: Умножим обе части уравнения на: Ответ: Пример 8: Решение: Первый способ: корни уравнения ищем в виде: Возведём обе части в квадрат: Комплексные числа равны, если равны их действительные и их мнимые части: Из 1-го уравнения следует, что: 1), но это не удовлетворяет 2-му уравнению (равенство выполняется только в том случае, если и одного знака); 2) – подставим во 2-е уравнение: Таким образом: либо Ответ: Второй способ: используем формулу. В данном случае: Найдём модуль и аргумент комплексного числа:; очевидно,. Таким образом: Ответ: Пример 9: Решение:. Вычислим дискриминант: Таким образом: Ответ: Проверка: подставим в исходное уравнение: верное равенство; верное равенство. Что и требовалось проверить. Пример 11: Решение: систему решим методом Крамера: Таким образом, система имеет единственное решение.

Как Разложить Квадратное Уравнение

Найдём произведение корней: Представим результат в тригонометрической форме: Ответ: Автор: Емелин Александр.

Сегодня я хочу поделиться программой, написанной на языке программирования Паскаль, а именно исходник программы, которая находит корни квадратного уравнения. Итак, задача звучит следующим образом: ' Составьте программу вычисления корней квадратного уравнения по данным значениям его коэффициентов'. Решение задачи на языке паскаль довольно простое. Вначале необходимо считать данные (значения коэффициентов) в три переменные a,b,c. Затем нужно посчитать дискриминант, после проверить больше или меньше нуля или равно ему значение дискриминанта.

В зависимости от значения дискриминанта считать значение корней или вывести сообщение о том, что корней нет. Исходный код программы нахождения корней: var a,b,c: real; x1,x2,D: real; begin readln(a,b,c); D:= b.b - 4.a.c; if D.